98學測數學多選第10題詳解

方程組 $$ \begin{cases} x+2y+az=1\\ 3x+4y+bz=-1\\ 2x+10y+7z=c \end{cases} $$ 係數行列式為 $$ \Delta=\begin{vmatrix}1&2&a\\3&4&b\\2&10&7\end{vmatrix}=2(11a-3b-7)。 $$ 若 $11a-3b\ne7$，則有唯一解。 若 $11a-3b=7$，第三列係數等於 $11$ 倍第一列減 $3$ 倍第二列。此時常數相容需為 $11\cdot1-3\cdot(-1)=14$，所以 $c=14$ 時有無限多解。 $(1)$ 若方程組有解，則必定恰有一組解：錯誤，因為 $11a-3b=7$ 且 $c=14$ 時有無限多解。 $(2)$ 若方程組有解，則 $11a-3b\ne7$：錯誤，因為上面的無限多解情形仍然有解。 $(3)$ 若方程組有解，則 $c=14$：錯誤，因為 $11a-3b\ne7$ 時可取 $c\ne14$ 仍有唯一解。 $(4)$ 若方程組無解，則 $11a-3b=7$：正確。 $(5)$ 若方程組無解，則 $c\ne14$：正確。 因為只有 $(4)(5)$ 成立，所以選 $(4)(5)$。