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098_02M_q11
98 學測數學 第 11 題
📅 98 年
📝 學測數學
第 11 題
題型：多選
課綱：99課綱
如圖所示，正立方體 $ABCD-EFGH$ 的稜長等於 $2$（即 $\overline{AB}=2$），$K$ 為正方形 $ABCD$ 的中心，$M,N$ 分別為線段 $BF,EF$ 的中點。試問下列哪些選項是正確的？
題目附圖
$\overset{\large\rightharpoonup}{KM}=\dfrac{1}{2}\overset{\large\rightharpoonup}{AB}-\dfrac{1}{2}\overset{\large\rightharpoonup}{AD}+\dfrac{1}{2}\overset{\large\rightharpoonup}{AE}$
$\overset{\large\rightharpoonup}{KM}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=1$
$\overline{KM}=3$
$\triangle KMN$ 為一直角三角形
$\triangle KMN$ 之面積為 $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
空間向量表示
內積
立方體
空間向量
空間向量與空間中的直線與平面
解題手法
坐標化
〔AI 推測〕
答案
$(1)(4)$
答案取自第 9 頁參考答案。
詳解
以 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB},\overset{\large\rightharpoonup}{AD},\overset{\large\rightharpoonup}{AE}$ 為互相垂直且長度為 $2$ 的基底，則 $K=(\dfrac12,\dfrac12,0)$，$M=(1,0,\dfrac12)$，$N=(\dfrac12,0,1)$。因此 $\overset{\large\rightharpoonup}{KM}=\dfrac12\overset{\large\rightharpoonup}{AB}-\dfrac12\overset{\large\rightharpoonup}{AD}+\dfrac12\overset{\large\rightharpoonup}{AE}$，$(1)$ 正確。又 $\overset{\large\rightharpoonup}{MK}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{MN}=0$，故 $\triangle KMN$ 為直角三角形，$(4)$ 正確。
題目來源：
大學入學考試中心公開試題。
解析狀態：
本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。
