96學測數學選填第17題詳解

因為先不考慮限制時，所以球帽、球衣、球鞋共有 $$ 4\times3\times3=36 $$ 種搭配。 紅帽配灰鞋共有 $3$ 種球衣，屬於禁止搭配；白衣配非藍帽共有 $3\times3=9$ 種搭配，也屬於禁止搭配。兩類禁止情形的交集只有「紅帽、白衣、灰鞋」這 $1$ 種，因此用排容原理，合法款式數為 $$ 36-(3+9-1)=25. $$ 故填 $25$。 另解 我們依球衣的顏色來做分類討論： 1. 當球衣是「白色」時： 規定此時球帽必須搭配「藍色」（$1$ 種選擇）。 球鞋沒有任何限制，可選「黑、白、灰」中的任意一種（$3$ 種選擇）。 此情況的款式數量為： $$1 \times 1 \times 3 = 3\text{ 種}$$ 2. 當球衣是「綠色」或「藍色」時（$2$ 種選擇）： 球帽可由黑、灰、紅、藍四種顏色中挑選： - (a) 若球帽選「紅色」： 因為紅帽不可搭配灰鞋，所以球鞋只能在「黑、白」中選一種（$2$ 種選擇）。 此情況的款式數量為： $$2 \times 1 \times 2 = 4\text{ 種}$$ - (b) 若球帽選「黑、灰、藍」中的任意一種（$3$ 種選擇）： 球鞋沒有搭配限制，可選「黑、白、灰」中的任意一種（$3$ 種選擇）。 此情況的款式數量為： $$2 \times 3 \times 3 = 18\text{ 種}$$ 綜合上述，最多可有的公仔款式總數為： $$3 + 4 + 18 = 25\text{ 種}$$