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096_02M_q18
96 學測數學 第 18 題
📅 96 年
📝 學測數學
第 18 題
題型：選填
課綱：99課綱
摸彩箱裝有若干編號為 $1, 2, \dots, 10$ 的彩球，其中各種編號的彩球數目可能不同。今從中隨機摸取一球，依據所取球的號數給予若干報酬。現有甲、乙兩案：甲案為當摸得彩球的號數為 $k$ 時，其所獲報酬同為 $k$；乙案為當摸得彩球的號數為 $k$ 時，其所獲報酬為 $11- k$ ($k = 1, 2, \dots, 10$)。已知依甲案每摸取一球的期望值為 $\dfrac{67}{14}$，則依乙案每摸取一球的期望值為 ______。(化成最簡分數)
隨機變數的期望值
期望值的線性性質
機率
機率
解題手法
公式代入
〔AI 推測〕
答案
$\dfrac{87}{14}$
詳解
設摸得編號為 $k$ 的彩球之機率為 $p_k$（其中 $k=1, 2, \dots, 10$），滿足 $\sum_{k=1}^{10} p_k = 1$。 根據題意，依甲案的期望值為： $$E(\text{甲}) = \sum_{k=1}^{10} k p_k = \dfrac{67}{14}$$ 依乙案時，若取到球號為 $k$ 則報酬為 $11 - k$，其期望值為： $$E(\text{乙}) = \sum_{k=1}^{10} (11 - k) p_k = \sum_{k=1}^{10} 11 p_k - \sum_{k=1}^{10} k p_k = 11 \left(\sum_{k=1}^{10} p_k\right) - E(\text{甲})$$ 將 $\sum_{k=1}^{10} p_k = 1$ 與 $E(\text{甲}) = \dfrac{67}{14}$ 代入： $$E(\text{乙}) = 11 \times 1 - \dfrac{67}{14} = \dfrac{154 - 67}{14} = \dfrac{87}{14}$$
題目來源：
大學入學考試中心公開試題。
解析狀態：
本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。