96學測數學選填第18題詳解

設摸得編號為 $k$ 的彩球之機率為 $p_k$（其中 $k=1, 2, \dots, 10$），滿足 $\sum_{k=1}^{10} p_k = 1$。 根據題意，依甲案的期望值為： $$E(\text{甲}) = \sum_{k=1}^{10} k p_k = \dfrac{67}{14}$$ 依乙案時，若取到球號為 $k$ 則報酬為 $11 - k$，其期望值為： $$E(\text{乙}) = \sum_{k=1}^{10} (11 - k) p_k = \sum_{k=1}^{10} 11 p_k - \sum_{k=1}^{10} k p_k = 11 \left(\sum_{k=1}^{10} p_k\right) - E(\text{甲})$$ 將 $\sum_{k=1}^{10} p_k = 1$ 與 $E(\text{甲}) = \dfrac{67}{14}$ 代入： $$E(\text{乙}) = 11 \times 1 - \dfrac{67}{14} = \dfrac{154 - 67}{14} = \dfrac{87}{14}$$ 另解 設球號為 $K$。因為乙案的報酬是 $11-K$，所以利用期望值的線性性質， $$ E(11-K)=11-E(K)=11-\frac{67}{14} =\frac{154-67}{14}=\frac{87}{14}. $$ 故填 $\frac{87}{14}$。