97學測數學多選第12題詳解

$\Gamma:x^2+y^2-10x+9=0$，配方得 $(x-5)^2+y^2=16$。圓心 $C(5,0)$，半徑 $R=4$。 選項 $(1)$：圓心 $(5,0)$。正確。 選項 $(2)$：$C(5,0)$ 到直線 $3x+4y-15=0$ 的距離：$\frac{|15+0-15|}{5}=0$。因為直線通過圓心，所以圓上點到直線的最遠距離即為半徑 $4$。正確。 選項 $(3)$：圓心到原點的距離為 $5$，原點在圓外（$5>4$），最多可作 $2$ 條切線。錯誤。 選項 $(4)$：$\Gamma$ 的圓心 $(5,0)$ 到 $y$ 軸的距離為 $5>4$，所以圓與 $y$ 軸不相交。正確。 選項 $(5)$：圓心 $(5,0)$ 到直線 $4x-3y+10=0$ 的距離：$\frac{|20-0+10|}{5}=6>4$，不相交。錯誤。 故選 $(1)(2)(4)$。