因為 $\overline{PA} = \overline{PB}$，代表 $P$ 點到 $A, B$ 兩點等距離，即 $P$ 點位於線段 $\overline{AB}$ 的垂直平分線上。 1. **求 $\overline{AB}$ 的中點 $M$**： $$M = \left( \dfrac{1 + 3}{2}, \dfrac{2 + 4}{2} \right) = (2, 3)$$ 2. **求直線 $AB$ 的斜率 $m_{AB}$**： $$m_{AB} = \dfrac{4 - 2}{3 - 1} = 1$$ 3. **求垂直平分線 $L_{\text{per}}$ 的方程式**： 垂直平分線必通過中點 $M(2, 3)$，且斜率與 $m_{AB}$ 互為負倒數，即 $m = -1$。 由點斜式得： $$y - 3 = -1(x - 2) \implies x + y = 5$$ 4. **求解 $P$ 點的坐標**： 聯立垂直平分線與已知直線方程式： $$\begin{cases} x + y = 5 & (1) \\ x + 2y = 3 & (2) \end{cases}$$ 將 $(2) - (1)$ 可得： $$y = -2$$ 將 $y = -2$ 代回 $(1)$ 得： $$x - 2 = 5 \implies x = 7$$ 因此，點 $P$ 的坐標為 $(7, -2)$。