83學測數學選填第14題詳解

因為 $\overline{PA}=\overline{PB}$，所以所求點 $X(x,y)$ 位於 $\overline{AB}$ 的垂直平分線上。 中點為 $$M=\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(2,3),$$ 而 $\overline{AB}$ 的斜率為 $1$，故垂直平分線斜率為 $-1$，方程式為 $$y-3=-(x-2)\implies x+y=5.$$ 與題設直線 $x+2y=3$ 聯立；用第二式減前式得 $y=-2$，代回前式得 $x=7$。 故 $X=(7,-2)$。