101學測數學選填第15題詳解

1. 若直線 $L$ 與三角形 $\triangle ABC$ 恰有一個交點，則 $L$ 為支撐線（交點為頂點或在邊上），且三角形其餘部分在 $L$ 的同側。 2. 同理，$L$ 也為 $\triangle DEF$ 的支撐線。因此需求同時支撐兩個三角形且不穿過內部的共同直線。 3. 逐一檢查通過兩個三角形頂點的直線斜率： 通過 $A(1,1)$、$D(0,-7)$：斜率 $= \frac{-7-1}{0-1} = 8$； 通過 $A(1,1)$、$F(8,-6)$：斜率 $= \frac{-6-1}{8-1} = -1$； 通過 $C(5,3)$、$F(8,-6)$：斜率 $= \frac{-6-3}{8-5} = -3$。 4. 其中直線 $CF$ 的斜率為 $-3$，方程式為 $3x + y = 18$。驗證 $A$、$B$、$D$、$E$ 代入左式均小於 $18$，因此兩三角形分別在點 $C$ 和 $F$ 處與此線相交，符合條件。因為其他可行斜率均不小於 $-3$，所以斜率的最小可能值為 $-3$。 故填 $-3$。