設原點 $O(0,0)$ 為對角線 $BD$ 與 $AC$ 的交點。 因為 $A, C$ 在 $y$-軸上，$B, D$ 在 $x$-軸上，所以四個頂點坐標可設為： $$A(0, a),\text{ } C(0, c),\text{ } B(-b, 0),\text{ } D(b, 0)$$ 平衡對稱性下，設 $a > 0, \ c < 0, \ b > 0$。 根據直角三角形的勾股定理： 1. 在直角三角形 $\triangle ABO$ 中，$\overline{OA}^2 + \overline{OB}^2 = \overline{AB}^2 \implies a^2 + b^2 = 2^2 = 4$ 2. 在直角三角形 $\triangle CBO$ 中，$\overline{OC}^2 + \overline{OB}^2 = \overline{BC}^2 \implies c^2 + b^2 = 4^2 = 16$ 3. 已知 $\overline{AC} = 5 \implies a - c = 5 \implies c = a - 5$ 將其聯立求解： $$(a-5)^2 + (4 - a^2) = 16 \implies a^2 - 10a + 25 + 4 - a^2 = 16$$ $$29 - 10a = 16 \implies 10a = 13 \implies a = 1.3$$ 代回可得 $c = 1.3 - 5 = -3.7$，而 $b^2 = 4 - 1.3^2 = 2.31 \implies b = \sqrt{2.31} \approx 1.52$。 現在計算各直線的斜率： - $m_{AB} = \dfrac{a - 0}{0 - (-b)} = \dfrac{a}{b} = \dfrac{1.3}{b} > 0$ - $m_{DA} = \dfrac{a - 0}{0 - b} = -\dfrac{a}{b} = -\dfrac{1.3}{b} < 0$ - $m_{BC} = \dfrac{0 - c}{-b - 0} = \dfrac{c}{b} = -\dfrac{3.7}{b} < 0$ - $m_{CD} = \dfrac{0 - c}{b - 0} = -\dfrac{c}{b} = \dfrac{3.7}{b} > 0$ 斜率大小順序為： $$m_{CD} \left( \dfrac{3.7}{b} \right) > m_{AB} \left( \dfrac{1.3}{b} \right) > m_{DA} \left( -\dfrac{1.3}{b} \right) > m_{BC} \left( -\dfrac{3.7}{b} \right)$$ 逐一檢驗選項： - (1) 錯：此四數中以 $m_{CD}$ 為最大。 - (2) 對：此四數中以 $m_{BC}$ 為最小。 - (3) 對：$m_{BC} = -\dfrac{3.7}{b} = -m_{CD}$。 - (4) 錯：$m_{AB} \times m_{BC} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{b} = \dfrac{1.3 \times (-3.7)}{2.31} = -\dfrac{4.81}{2.31} \ne -1$。 - (5) 對：$m_{CD} + m_{DA} = \dfrac{3.7}{b} + \left( -\dfrac{1.3}{b} \right) = \dfrac{2.4}{b} > 0$。 故選 $(2)(3)(5)$。