98 學測數學第 16 題

Question

假設 $\Gamma_1$ 為坐標平面上一開口向上的拋物線，其對稱軸為 $x=-\dfrac{3}{4}$ 且焦距（焦點到頂點的距離）為 $\dfrac{1}{8}$。若 $\Gamma_1$ 與另一拋物線 $\Gamma_2:y=x^2$ 恰交於一點，則 $\Gamma_1$ 的頂點之 $y$ 坐標為 ____。（化成最簡分數）

Accepted Answer

答案：$\dfrac{9}{8}$
$\Gamma_1$ 的焦距 $p=\dfrac18$，故可寫成 $y=\dfrac{1}{4p}\left(x+\dfrac34\right)^2+k=2\left(x+\dfrac34\right)^2+k$。令其與 $y=x^2$ 相交，得 $x^2=2\left(x+\dfrac34\right)^2+k$，即 $x^2+3x+\dfrac98+k=0$。恰有一交點，故判別式 $9-4\left(\dfrac98+k\right)=0$，得 $k=\dfrac98$。