90大學聯考數學（社會組）多選第1題詳解

$x$ 為無理數，所以故 $x eq 0.62$，選項 $(1)$ 不等。 選項 $(2)$： $$\dfrac{1}{x} - 1 = \dfrac{2}{\sqrt{5}-1} - 1 = \dfrac{2(\sqrt{5}+1)}{4} - 1 = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2} - 1 = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} = x$$恆成立。 選項 $(3)$： 由 $\frac{1}{x} - 1 = x$ 兩邊同乘 $x$ 得 $1 - x = x^2 \implies 1 - x^2 = x$，故恆成立。 選項 $(4)$： 由 $1 - x^2 = x \implies (1-x)(1+x) = x \implies \frac{1}{1+x} = \frac{1-x}{x} = \frac{1}{x} - 1 = x$，故恆成立. 選項 $(5)$： 此無窮級數為首項 $a=1$，公比 $r = -x$ 的無窮等比級數。 因為公比 $|r| = |-x| = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618 < 1$，此無窮等比級數收斂，其和為： $$\dfrac{a}{1-r} = \dfrac{1}{1 - (-x)} = \dfrac{1}{1+x}$$由選項 $(4)$ 知 $\frac{1}{1+x} = x$，故恆成立。 綜上所述，選項 $(2)(3)(4)(5)$ 皆與 $x$ 相等。