詳解
由 $f(-1) = -3$，$f(3) = -1$，且判別式 $b^2 - 4ac < 0$，可知 $y = f(x)$ 的圖形通過 $(-1,-3)$ 和 $(3,-1)$，且與 $x$ 軸沒有交點。
1. 判斷開口方向：
因為拋物線與 $x$ 軸沒有交點，且通過 $y < 0$ 的點（如 $(-1,-3)$），故拋物線必完全在 $x$ 軸下方，開口朝下，得：
$$a < 0$$
所以故選項 $(1)$ 恆成立。
2. 判斷 $c$ 的正負：
$f(0) = c$ 為拋物線與 $y$ 軸的交點。因為拋物線完全在 $x$ 軸下方，故其 $y$ 截距必為負值，即：
$$c < 0$$
故選項 $(2)$ 恆成立。
3. 分析對稱軸與函數值的關係：
拋物線的對稱軸為 $x = -\frac{b}{2a}$。
因為 $f(-1) = -3 < f(3) = -1$，且開口朝下，代表對稱軸 $x$ 必大於二點的中點，即對稱軸：
$$x_0 > \dfrac{-1+3}{2} = 1$$
- 若對稱軸範圍介於 $1 < x_0 < 3$：
函數在 $x < x_0$ 遞增，在 $x > x_0$ 遞減。
- 對於 $f(0)$ 與 $f(1)$，因為 $0 < 1 < x_0$，故 $f(0) < f(1)$ 成立。
- 對於 $f(-3)$ 與 $f(-2)$，因為 $-3 < -2 < x_0$，故 $f(-3) < f(-2)$ 成立。
- 對於 $f(4)$ 與 $f(5)$，因為 $x_0 < 3 < 4 < 5$，在遞減區間，故 $f(4) > f(5)$，選項 $(4)$ 不成立。
- 若對稱軸範圍 $x_0 > 3$：
- 對於 $f(0)$ 與 $f(1)$，因為 $0 < 1 < x_0$，故 $f(0) < f(1)$ 成立。
- 對於 $f(-3)$ 與 $f(-2)$，因為 $-3 < -2 < x_0$，故 $f(-3) < f(-2)$ 成立。
綜上分析，$a<0$、$c<0$、$f(0)<f(1)$ 以及 $f(-3)<f(-2)$ 恆成立。
故選 $(1)(2)(3)(5)$。
解答拋物線示意圖（圖一、圖二）