91指考數學乙非選第10題詳解

假設分配於報章雜誌的宣傳為 $x$ 單位（每單位 $10$ 萬元），分配於電台的宣傳為 $y$ 單位（每單位 $10$ 萬元），其中 $x \ge 0$、 $y \ge 0$。 根據歌手指標提升的條件限制，建立線性不等式組（約束條件）： 1. 形象指數限制：每單位報章加 $5$ 點，電台加 $6$ 點，至少 $160$ 點： $$5x + 6y \ge 160$$ 2. 知名度指數限制：每單位報章加 $10$ 點，電台加 $4$ 點，至少 $160$ 點： $$10x + 4y \ge 160 \implies 5x + 2y \ge 80$$ 3. 綜合指數限制：兩指數之和為 $(5x + 6y) + (10x + 4y) = 15x + 10y$，至少 $360$ 點： $$15x + 10y \ge 360 \implies 3x + 2y \ge 72$$ 目標函數為總廣告費用（萬元）： $$f(x, y) = 10x + 10y$$ 作圖求解如下： 1. 在第一象限畫出邊界線 $5x+6y=160$，其截距為 $(32,0)$ 與 $(0,\dfrac{80}{3})$，可行側為直線上方。 2. 畫出邊界線 $5x+2y=80$，其截距為 $(16,0)$ 與 $(0,40)$，可行側為直線上方。 3. 畫出邊界線 $3x+2y=72$，其截距為 $(24,0)$ 與 $(0,36)$，可行側為直線上方。 4. 三個半平面與第一象限的共同部分為可行域；其下邊界頂點依序為 $(0,40)$、$(4,30)$、$(14,15)$、$(32,0)$，可行域在這條折線的上方。 各頂點來源為： - $y$ 軸與 $5x+2y=80$ 的交點：$(0,40)$。 - $5x + 2y = 80$ 與 $3x + 2y = 72$ 的交點：$(4,30)$。 - $5x + 6y = 160$ 與 $3x + 2y = 72$ 的交點：$(14,15)$。 - $x$ 軸與 $5x+6y=160$ 的交點：$(32,0)$。 將各頂點代入總費用目標函數： - 對頂點 $(0, 40)$：$f(0, 40) = 10(0) + 10(40) = 400$ 萬元 - 對頂點 $(4, 30)$：$f(4, 30) = 10(4) + 10(30) = 340$ 萬元 - 對頂點 $(14, 15)$：$f(14, 15) = 10(14) + 10(15) = 290$ 萬元 - 對頂點 $(32, 0)$：$f(32, 0) = 10(32) + 10(0) = 320$ 萬元 比較各點花費，當 $x = 14, y = 15$ 時，總花費取得最小值 $290$ 萬元。 此時： - 報章雜誌應分配廣告費 $10 \times 14 = 140$ 萬元； - 電台應分配廣告費 $10 \times 15 = 150$ 萬元。 答：成為名歌星至少應花費廣告費 $290$ 萬元；此時報章雜誌分配 $140$ 萬元，電台分配 $150$ 萬元。