$(1)$ 將 $n$ 的值分別代入公式中計算： - $a_2 = \dfrac{1+\sqrt{8(2)-7}}{2} = \dfrac{1+\sqrt{9}}{2} = 2$ - $a_3 = \dfrac{1+\sqrt{8(3)-7}}{2} = \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$ - $a_4 = \dfrac{1+\sqrt{8(4)-7}}{2} = \dfrac{1+\sqrt{25}}{2} = 3$ - $a_5 = \dfrac{1+\sqrt{8(5)-7}}{2} = \dfrac{1+\sqrt{33}}{2}$ - $a_6 = \dfrac{1+\sqrt{8(6)-7}}{2} = \dfrac{1+\sqrt{41}}{2}$ - $a_7 = \dfrac{1+\sqrt{8(7)-7}}{2} = \dfrac{1+\sqrt{49}}{2} = 4$ $(2)$ 將 $k^2 - k$ 因式分解，可得： $$k^2 - k = k(k - 1)$$ 其中 $k$ 與 $k - 1$ 為兩個連續的整數。因為相鄰的兩個整數必為一奇一偶，而奇數與偶數的乘積必然是偶數，所以 $k^2 - k$ 必為偶數。 $(3)$ 我們要證明的目標是：對於任意正整數 $k$，都存在正整數 $m$ 使得 $a_m = k$。 令 $a_m = k$，即： $$\dfrac{1 + \sqrt{8m - 7}}{2} = k \implies 1 + \sqrt{8m - 7} = 2k$$ $$\sqrt{8m - 7} = 2k - 1$$ 兩邊平方整理得： $$8m - 7 = (2k - 1)^2 = 4k^2 - 4k + 1$$ $$8m = 4k^2 - 4k + 8$$ $$m = \dfrac{k^2 - k + 2}{2}$$ 根據 $(2)$，當 $k$ 為正整數時，$k^2 - k$ 恆為偶數，因此 $k^2 - k + 2$ 亦必然是偶數。這意味著 $m = \dfrac{k^2 - k + 2}{2}$ 必然為一個正整數。 由此可知，在數列中必定可以找到項數 $m = \dfrac{k^2 - k + 2}{2}$，使得 $a_m = k$。得證。