92 學測數學第 12 題

Question

設 $a_1, a_2, \cdots, a_{50}$ 是從 $-1, 0, 1$ 這三個整數中取值的數列。若 $a_1+a_2+\cdots+a_{50}=9$ 且 $(a_1+1)^2+(a_2+1)^2+\cdots+(a_{50}+1)^2=107$，則 $a_1, a_2, \cdots, a_{50}$ 當中有幾項是零？答：____ 項

Accepted Answer

答案：11
設數列中 $1,0,-1$ 的個數分別為 $x,y,z$。則 $x+y+z=50$，且 $x-z=9$。又 $(1+1)^2=4$、$(0+1)^2=1$、$(-1+1)^2=0$，所以 $4x+y=107$。由 $y=107-4x$、$z=x-9$ 代入 $x+y+z=50$，得 $x+(107-4x)+(x-9)=50$，解得 $x=24$，故 $y=107-4\cdot24=11$。答案為 $11$。