設 $\pi_a: x-4y+az=10$（$a$ 為常數）、$E_1: x-2y+z=5$ 及 $E_2: 2x-5y+4z=-3$ 為坐標空間中的三個平面。試問下列哪些敘述是正確的？
- 存在實數 $a$ 使得 $\pi_a$ 與 $E_1$ 平行
- 存在實數 $a$ 使得 $\pi_a$ 與 $E_1$ 垂直
- 存在實數 $a$ 使得 $\pi_a$、$E_1$、$E_2$ 交於一點
- 存在實數 $a$ 使得 $\pi_a$、$E_1$、$E_2$ 交於一直線
- 存在實數 $a$ 使得 $\pi_a$、$E_1$、$E_2$ 沒有共同交點
詳解
三平面的法向量為 $n_{\pi}=(1,-4,a)$、$n_1=(1,-2,1)$、$n_2=(2,-5,4)$。$(1)$ 若 $\pi_a$ 與 $E_1$ 平行，需 $(1,-4,a)$ 與 $(1,-2,1)$ 成比例，但由前兩分量即矛盾，故不成立。$(2)$ 若垂直，需 $n_{\pi}\cdot n_1=1+8+a=0$，取 $a=-9$ 可行。$(3)$ 三平面交於一點當且僅當法向量行列式非零，而 $\det\begin{bmatrix}1&-4&a\\1&-2&1\\2&-5&4\end{bmatrix}=5-a$，取 $a\ne 5$ 即可。$(4)$ 當 $a=5$ 時法向量相依，且 $(1,-4,5)=-3(1,-2,1)+2(2,-5,4)$；但常數項 $-3\cdot 5+2\cdot(-3)=-21\ne 10$，故方程組不相容，不會交於一直線。$(5)$ 取 $a=5$ 時無共同交點，故成立。故選 $(2)(3)(5)$。