92學測數學多選第11題詳解

三平面的法向量為 $n_{\pi}=(1,-4,a)$、$n_1=(1,-2,1)$、$n_2=(2,-5,4)$。 $(1)$：若 $\pi_a$ 與 $E_1$ 平行，需 $(1,-4,a)$ 與 $(1,-2,1)$ 成比例，但由前兩分量即矛盾，故不成立。 $(2)$：若垂直，需 $n_{\pi}\cdot n_1=1+8+a=0$，取 $a=-9$ 可行，故成立。 $(3)$：三平面交於一點當且僅當法向量行列式非零，而 $$ \det\begin{bmatrix}1&-4&a\\1&-2&1\\2&-5&4\end{bmatrix}=5-a。 $$ 取 $a\ne 5$ 即可，故成立。 $(4)$：當 $a=5$ 時法向量相依，且 $(1,-4,5)=-3(1,-2,1)+2(2,-5,4)$；但常數項 $-3\cdot 5+2\cdot(-3)=-21\ne 10$，故方程組不相容，不會交於一直線，故不成立。 $(5)$：取 $a=5$ 時無共同交點，故成立。 故選 $(2)(3)(5)$。