91學測數學補考選填第20題詳解

1. 考生已知 $A,B$ 兩個選項必為正確，因此這兩個選項不會造成扣分；只需分析 $C,D,E$ 三個選項的猜測正誤。 2. 對 $C,D,E$ 三個選項，每個選項都有「選」或「不選」兩種狀態，隨機猜測時每一個選項猜對的機率為 $\dfrac{1}{2}$。 若三個都猜對，機率為 $$\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{8},$$ 整題完全答對，得 $5$ 分。 若三個中恰有兩個猜對，也就是只答錯 $1$ 個選項，機率為 $$\binom{3}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{3}{8},$$ 得 $2.5=\dfrac{5}{2}$ 分。 若只猜對 $1$ 個或 $0$ 個，表示答錯 $2$ 個或 $2$ 個以上，得 $0$ 分。 3. 因此期望值 $E$ 為 $$E=5 imes\dfrac{1}{8}+\dfrac{5}{2} imes\dfrac{3}{8}=\dfrac{5}{8}+\dfrac{15}{16}=\dfrac{25}{16}=1+\dfrac{9}{16}.$$ 故期望值為 $1+\dfrac{9}{16}$。