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93學測數學選填第17題詳解

📅 93 年 📝 學測數學 第 17 題 題型：選填 課綱：99課綱

答案與本題考點

答案：$a = 5$, $b = 3$

本題考點：圓、法向量、空間向量與空間中的直線與平面

題目

在坐標空間中，平面 $x - 2y + z = 0$ 上有一以點 $P(1, 1, 1)$ 為圓心的圓 $\Gamma$，而 $Q(-9, 9, 27)$ 為圓 $\Gamma$ 上一點。若過 $Q$ 與圓 $\Gamma$ 相切的直線之一方向向量為 $(a, b, 1)$，則 $a =$ ____，$b =$ ____。
圓法向量空間向量與空間中的直線與平面

答案

答案

$a = 5$, $b = 3$

㉓=5, ㉔=3

詳解

詳解
圓的切線同時位於平面內，且垂直於半徑 $\overline{PQ}$。取 $$ \overset{\large\rightharpoonup}{PQ}=(-10,8,26),\; \overset{\large\rightharpoonup}{n}=(1,-2,1) $$ 為平面法向量。切線方向可取兩者的外積： $$ \overset{\large\rightharpoonup}{PQ}\times\overset{\large\rightharpoonup}{n} =(60,36,12)=12(5,3,1). $$ 題設方向向量最後一坐標為 $1$，故可取 $(a,b,1)=(5,3,1)$。因此 $$ a=5,\; b=3. $$

題目來源：民國93年學測數學 第17題（來源PDF第6頁）

資料版本：2026-07-21（commit bde62541）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈93學測數學選填第17題詳解〉，資料版本 2026-07-21，https://twmath.com/questions/093_02M_q17

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。