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94學測數學選填第15題詳解

📅 94 年 📝 學測數學 第 15 題 題型：選填 課綱：99課綱

答案與本題考點

答案：32, $-1$

本題考點：棣美弗定理、等比級數求和、等比級數、複數平面與應用

題目

設複數 $z = 1-i$；若 $1 + z + z^2 + \cdots + z^9 = a + bi$，其中 $a, b$ 為實數，則 $a=$_______，$b=$_______。
棣美弗定理等比級數求和等比級數複數平面與應用
解題手法公式代入〔AI 推測〕

答案

答案

32, $-1$

詳解

詳解
因為依題目條件進行如下推導： 因為 $z=1-i$，先算出 $$ z^2=-2i,\; z^4=-4,\; z^8=16. $$ 等比和可寫為 $$ 1+z+\cdots+z^9=\frac{1-z^{10}}{1-z}. $$ 又 $z^{10}=z^8z^2=-32i$，因此 $$ \frac{1+32i}{i}=32-i. $$ 所以 $$ a=32,\; b=-1. $$

題目來源：民國94年學測數學 第15題（來源PDF第5頁）

資料版本：2026-06-29（commit 2a28ae7a）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈94學測數學選填第15題詳解〉，資料版本 2026-06-29，https://twmath.com/questions/094_02M_q15

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。