94學測數學選填第20題詳解

以 $A$ 點為原點 $(0, 0, 0)$ 建立空間直角坐標系，並將 $\overline{AB}$、$\overline{AD}$、$\overline{AE}$ 的方向分別設定為 $x$-軸、 $y$-軸、 $z$-軸的正向。 由於立方體的邊長為 $1$，故基準向量為： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (1, 0, 0),\text{ } \overset{\large\rightharpoonup}{AD} = (0, 1, 0),\text{ } \overset{\large\rightharpoonup}{AE} = (0, 0, 1)$$ 依已知條件： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AP} = \dfrac{3}{4}\overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \dfrac{1}{2}\overset{\large\rightharpoonup}{AD} + \dfrac{2}{3}\overset{\large\rightharpoonup}{AE} = \left( \dfrac{3}{4}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3} \right)$$ 因為 $A$ 為原點，所以點 $P$ 在此坐標系下的坐標為 $\left( \dfrac{3}{4}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3} \right)$。 直線 $AB$ 即為空間中的 $x$-軸。點 $P(x, y, z)$ 到 $x$-軸的距離為其 $y$ 與 $z$ 坐標平方和的算術平方根： $$d = \sqrt{y^2 + z^2}$$ 將 $y = \dfrac{1}{2}$ 且 $z = \dfrac{2}{3}$ 代入距離公式： $$d = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{4}{9}} = \sqrt{\dfrac{25}{36}} = \dfrac{5}{6}$$ 故 $P$ 點到直線 $AB$ 的距離為 $\dfrac{5}{6}$。