95指考數學甲多選第5題詳解

拋物線 $\Gamma: y = x^2$ 的標準式為 $x^2 = 4 \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right) y$，其焦距 $p = \dfrac{1}{4}$。一個拋物線若能由 $\Gamma$ 經適當的平移或旋轉得到，則其形狀與焦距必須與 $\Gamma$ 完全相同。 我們一一檢驗各選項的焦距： $(1)$ $y = 2x^2 \implies x^2 = 4 \cdot \left(\dfrac{1}{8}\right) y$，焦距為 $\dfrac{1}{8}$。與 $\Gamma$ 焦距不同，無法經變換得到。 $(2)$ $y = -x^2$，此圖形為原圖形 $\Gamma$ 繞原點旋轉 $180^\circ$ 得到，形狀完全相同，可以得到。 $(3)$ $x = y^2 \implies y^2 = 4 \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right) x$，焦距為 $\dfrac{1}{4}$。此圖形可由 $\Gamma$ 繞原點旋轉 $90^\circ$ 得到，可以得到。 $(4)$ $y = x^2 + 4x + 3 = (x+2)^2 - 1$，這可以寫成 $y+1 = (x+2)^2$，是由 $\Gamma$ 經平移（向左平移 $2$ 單位，向下平移 $1$ 單位）得到的，可以得到。 $(5)$ 將 $(x+y) = (x-y)^2$ 進行旋轉：考慮將坐標軸逆時針旋轉 $45^\circ$，令： $$X = \dfrac{x-y}{\sqrt{2}}, \ Y = \dfrac{x+y}{\sqrt{2}}$$ 代入方程式，得： $$\sqrt{2}Y = 2X^2 \implies Y = \sqrt{2}X^2$$ 其焦距為 $\dfrac{1}{4\sqrt{2}}$，與 $\Gamma$ 的焦距 $\dfrac{1}{4}$ 不同，故無法經變換得到。 綜合上述，正確選項為 $(2)(3)(4)$。