96指考數學甲單選第1題詳解

1. 設 $\theta=\frac{2\pi}{7}$，則 $z=\cos\theta+i\sin\theta$。我們計算複數 $1-z$ 的絕對值： $$ \begin{aligned} |1-z|&=\sqrt{(1-\cos\theta)^2+(-\sin\theta)^2}\\ &=\sqrt{2-2\cos\theta}\\ &=2\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|。 \end{aligned} $$ 2. 將 $\theta=\frac{2\pi}{7}$ 代入，得 $\frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{7}$。因為 $\sin\frac{\pi}{7}>0$，所以 $$ |1-z|=2\sin\frac{\pi}{7}。 $$ 故選 $(1)$。