因為方程式 $x^2 + kx + 1 = 0$ 的係數為實數，且虛根必共軛成對， 又 $b \ne 0$，故 $c$ 為虛數根，其共軛複數 $\bar{c} = \dfrac{a}{3} - \dfrac{b\sqrt{2}}{3}i$ 亦為方程式的另一個解。 由一元二次方程式根與係數的關係： 1. **兩根之積**： $$c \cdot \bar{c} = 1 \implies \bar{c} = \dfrac{1}{c}$$ 故 $\dfrac{1}{c}$ 是上述方程式的另外一個解，且 $\dfrac{1}{c} = \bar{c} = \dfrac{a}{3} - \dfrac{b\sqrt{2}}{3}i$。選項 $(1)$ 與 $(2)$ 皆正確。 2. **兩根之和**： $$c + \bar{c} = -k \implies c + \dfrac{1}{c} = -k$$ 故選項 $(3)$ 正確。 3. **整數條件與 $k, a$ 的值**： 由 $c \cdot \bar{c} = 1$ 可得： $$\left(\dfrac{a}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{b\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 \implies \dfrac{a^2}{9} + \dfrac{2b^2}{9} = 1 \implies a^2 + 2b^2 = 9$$ 因為 $a, b$ 皆為整數，且 $b \ne 0$： - 若 $b^2 = 1 \implies a^2 = 7$（無整數解） - 若 $b^2 = 4 \implies a^2 = 1 \implies a = 1 \text{ 或 } -1$（有整數解，此時 $b = \pm 2$） - 若 $b^2 \ge 9 \implies 2b^2 \ge 18 \implies a^2 < 0$（無實數解） 因此，唯一的整數解為 $a = \pm 1$。 - 此時 $k = -(c + \bar{c}) = -\dfrac{2a}{3} = \mp \dfrac{2}{3}$（非整數）。故選項 $(4)$ 錯誤。 - $a = \pm 1$ 為奇數，故選項 $(5)$ 正確。 故正確選項為 $(1)(2)(3)(5)$。