96指考數學乙多選第6題詳解

因為方程式 $x^2+kx+1=0$ 的係數為實數，且 $b\neq 0$，所以 $c$ 為非實根，其共軛複數 $$\bar{c}=\frac{a}{3}-\frac{b\sqrt{2}}{3}i$$ 也是方程式的另一個根。 由根與係數關係，兩根之積為 $$c\bar{c}=1,$$ 所以 $\bar{c}=\frac{1}{c}$。因此 $\frac{1}{c}$ 是另一個解，且 $$\frac{1}{c}=\bar{c}=\frac{a}{3}-\frac{b\sqrt{2}}{3}i,$$ 故選項 $(1)$、$(2)$ 正確。 兩根之和為 $$c+\bar{c}=-k,$$ 因此 $$c+\frac{1}{c}=-k.$$ 而選項 $(3)$ 為 $c+\frac{1}{c}=k$，故選項 $(3)$ 錯誤。 再由 $c\bar{c}=1$ 可得 $$\left(\frac{a}{3}\right)^2+\left(\frac{b\sqrt{2}}{3}\right)^2=1,$$ 即 $$a^2+2b^2=9.$$ 因為 $a,b$ 為整數且 $b\neq 0$，討論 $b^2$ 的可能值： - 若 $b^2=1$，則 $a^2=7$，無整數解； - 若 $b^2=4$，則 $a^2=1$，有 $a=\pm1$、$b=\pm2$； - 若 $b^2\ge 9$，則無解。 所以 $a=\pm1$，一定是奇數，選項 $(5)$ 正確。此時 $$k=-(c+\bar{c})=-\frac{2a}{3}=\mp\frac{2}{3},$$ 不一定是整數，故選項 $(4)$ 錯誤。 故正確選項為 $(1)(2)(5)$。