將等式右側的因式分解展開： $$(x+a)^2(x+b) = (x^2 + 2ax + a^2)(x+b)$$ $$= x^3 + (2a+b)x^2 + (a^2+2ab)x + a^2b$$ 與左側的多項式 $x^3 + rx + s$ 進行係數比較，可得聯立關係式： 1. **$x^2$ 項係數**： $$2a + b = 0 \implies b = -2a \ \text{--- (式 1)}$$ 2. **$x$ 項係數**： $$a^2 + 2ab = r \ \text{--- (式 2)}$$ 3. **常數項**： $$a^2b = s \ \text{--- (式 3)}$$ 將式 (1) 代入式 (2) 與式 (3) 中： - 代入式 (2)： $$a^2 + 2a(-2a) = r \implies -3a^2 = r \implies a^2 = -\dfrac{r}{3} \ \text{--- (式 4)}$$ - 代入式 (3)： $$a^2(-2a) = s \implies -2a^3 = s \implies a^3 = -\dfrac{s}{2} \ \text{--- (式 5)}$$ **論證 $a$ 與 $r$ 不為 $0$**： 已知 $a, b$ 為相異實數（$a \ne b$）。 若 $a = 0$，由式 (1) 可得 $b = -2(0) = 0$，此時 $a = b = 0$，與已知條件矛盾，故： $$a \ne 0$$ 由此可知 $a^2 \ne 0$，再由式 (4) 可知： $$r \ne 0$$ **證明 $a, b$ 為有理數**： 因為 $a \ne 0$，我們可以將 $a$ 表示為： $$a = \dfrac{a^3}{a^2}$$ 將式 (4) 與式 (5) 代入上式中： $$a = \dfrac{-\dfrac{s}{2}}{-\dfrac{r}{3}} = \dfrac{3s}{2r}$$ 已知 $r, s$ 為整數且 $r \ne 0$，因此 $\dfrac{3s}{2r}$ 必然是有理數。 故 $a$ 是有理數。 再由式 (1) 可知 $b = -2a$，因為有理數在乘法下具有封閉性，所以 $b$ 也必然是有理數。 得證 $a, b$ 都是有理數。