96指考數學乙非選第11題詳解

在中心投影（透視投影）的性質中，空間中的直線經投影後仍為直線，且相交直線的交點在投影後亦為投影直線的交點。 田字形窗戶為一個大正方形，其窗戶中心即為外框正方形兩條對角線的交點。 因為中心投影保持直線的交點關係不變，所以田字形窗戶中心投影在地板上的坐標，即為地板上光影四邊形外框兩對角線的交點。 1. 判斷光影四邊形的頂點順序與對角線： 我們將給定的四個光影頂點坐標標繪在坐標平面上： - $A(-4, 40)$（左上） - $B(16, 40)$（右上） - $C(28, 16)$（右下） - $D(16, 0)$（正下） 依順時針方向連接頂點，四邊形的外框為 $A \to B \to C \to D \to A$。 因此，該四邊形的兩條對角線分別為線段 $\overline{AC}$ 與線段 $\overline{BD}$。 2. 求直線 $AC$ 的方程式： 直線 $AC$ 通過點 $A(-4, 40)$ 與 $C(28, 16)$。 其斜率為： $$m_{AC} = \frac{16 - 40}{28 - (-4)} = \frac{-24}{32} = -\frac{3}{4}$$ 利用點斜式求直線方程式： $$y - 40 = -\frac{3}{4}(x + 4) \implies 4(y - 40) = -3(x + 4) \implies 3x + 4y = 148 \;\text{（式1）}$$ 3. 求直線 $BD$ 的方程式： 直線 $BD$ 通過點 $B(16, 40)$ 與 $D(16, 0)$。 由於兩點的 $x$ 坐標皆為 $16$，此直線為一垂直線，其方程式為： $$x = 16 \;\text{（式2）}$$ 4. 求交點坐標： 將（式2）代入（式1）中： $$3(16) + 4y = 148 \implies 48 + 4y = 148 \implies 4y = 100 \implies y = 25$$ 因此，對角線 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$ 的交點坐標為 $(16, 25)$，即為田字形窗戶中心投影在地板上的坐標。