逐一檢查各選項的行列式性質：
選項 $(1)$：左式為右式矩陣的轉置。因為轉置不改變行列式值，所以等號不應帶負號，$(1)$ 不恆成立。
選項 $(2)$：將左式按第二行展開：
$$\begin{vmatrix}a & b & 0\\d & e & 1\\g & h & 0\end{vmatrix}
=(-1)^{2+2}\cdot e\cdot\begin{vmatrix}a & 0\\g & 0\end{vmatrix}
+(-1)^{2+3}\cdot 1\cdot\begin{vmatrix}a & b\\g & h\end{vmatrix}
=0-\begin{vmatrix}a & b\\g & h\end{vmatrix}
=-\begin{vmatrix}a & b\\g & h\end{vmatrix}$$
與右式相差一個負號，$(2)$ 不恆成立。
選項 $(3)$：第一列為 $(0,b,0)$，第三列為 $(0,h,0)$。因為兩列成比例，所以行列式為 $0$，$(3)$ 恆成立。
選項 $(4)$：當 $a,e,g,i$ 不全為 $0$ 時，行列式不一定為 $0$。例如取 $a=e=g=i=1$，其餘為 $0$，行列式 $=1\neq 0$，$(4)$ 不恆成立。
選項 $(5)$：行列式不具加法性。反例：
$$\begin{vmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{vmatrix}=0,\;
\begin{vmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{vmatrix}=0,\;
\begin{vmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{vmatrix}=1\neq 0+0$$
$(5)$ 不恆成立。
故選 $(3)$。