111分科測驗數學甲單選第2題詳解

三元一次方程組的係數矩陣為 $$\begin{bmatrix}1 & -1 & 1 \\ 2 & c & 3 \\ 3 & -3 & c\end{bmatrix}.$$ 計算行列式： $$\begin{vmatrix}1 & -1 & 1 \\ 2 & c & 3 \\ 3 & -3 & c\end{vmatrix} = c^2+(-3)+(-6) - (3c-9-2c) = c^2-3c-10 = (c-5)(c+2).$$ 因為方程組無解的條件是係數矩陣行列式為 $0$ 且增廣矩陣的秩大於係數矩陣的秩， 所以先令行列式為 $0$ 得 $c=5$ 或 $c=-2$。 當 $c=5$ 時，方程組為 $x-y+z=0$、$2x+5y+3z=1$、$3x-3y+5z=0$， 可化為 $x-y+z=0$ 與 $2x+5y+3z=1$（第三式為第一式的 $3$ 倍加第二式），有無限多組解。 當 $c=-2$ 時，方程組為 $x-y+z=0$、$2x-2y+3z=1$、$3x-3y-2z=0$。 由第一式得 $z=y-x$，代入第二式：$2x-2y+3(y-x)=1 \implies -x+y=1$。 代入第三式：$3x-3y-2(y-x)=0 \implies 5x-5y=0 \implies x=y$。 但 $x=y$ 與 $-x+y=1$ 矛盾，故無解。 因此 $c=-2$。 故選 $(2)$。