100學測數學選填第14題詳解

因為無窮等比級數收斂的條件為 $|r| < 1$，所以由題意得： $$\frac{a}{1-r} = 5, \; \frac{a}{1-3r} = 7.$$ 2. 由第一式得 $a = 5(1-r)$，代入第二式： $$5(1-r) = 7(1-3r) \implies 5 - 5r = 7 - 21r \implies 16r = 2 \implies r = \frac{1}{8}.$$ 3. 代回得 $a = 5(1 - \frac{1}{8}) = \frac{35}{8}$。 4. 因為公比 $2r = \frac{1}{4}$ 滿足 $|2r| < 1$，所以級數收斂，和為 $$\frac{a}{1-2r} = \frac{\frac{35}{8}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{35}{8}}{\frac{3}{4}} = \frac{35}{6}.$$ 故填 $\frac{35}{6}$。