103學測數學多選第8題詳解

因為逐一分析各選項： $(1)$ $$\sqrt{13} > 3.5$$ 兩邊平方得 $13 > 3.5^2 = 12.25$，此不等式成立。故 $(1)$ 正確。 $(2)$ $$\sqrt{13} < 3.6$$ 兩邊平方得 $13 < 3.6^2 = 12.96$，不成立。故 $(2)$ 錯誤。 $(3)$ $$\sqrt{13} - \sqrt{3} > \sqrt{10}$$ 移項為 $\sqrt{13} > \sqrt{10} + \sqrt{3}$。兩邊平方得 $13 > 10 + 3 + 2\sqrt{30} = 13 + 2\sqrt{30}$，這顯然不成立。故 $(3)$ 錯誤。 $(4)$ $$\sqrt{13} + \sqrt{3} > \sqrt{16}$$ 兩邊平方得 $13 + 3 + 2\sqrt{39} = 16 + 2\sqrt{39} > 16$，此不等式成立。故 $(4)$ 正確。 $(5)$ $$\frac{1}{\sqrt{13} - \sqrt{3}} > 0.6$$ 將左式分母有理化：$$\frac{1}{\sqrt{13} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{3}}{(\sqrt{13} - \sqrt{3})(\sqrt{13} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{3}}{10}$$所以原不等式等價於：$$\frac{\sqrt{13} + \sqrt{3}}{10} > 0.6 \implies \sqrt{13} + \sqrt{3} > 6$$兩邊平方得 $16 + 2\sqrt{39} > 36 \implies 2\sqrt{39} > 20 \implies \sqrt{39} > 10 \implies 39 > 100$，不成立。故 $(5)$ 錯誤。 綜上所述，正確的選項為 $(1)(4)$。