94學測數學多選第9題詳解

已知 $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$，我們逐一檢驗各選項： $(1)$ 對：當 $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ 時，$\sin\theta < \frac{\sqrt{2}}{2}$ 且 $\cos\theta > \frac{\sqrt{2}}{2}$，故 $\sin\theta < \cos\theta$ 恆成立。 $(2)$ 錯：$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$。在 $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ 時，$0 < \cos\theta < 1$，分母小於 $1$，故 $\tan\theta > \sin\theta$。 $(3)$ 錯：當 $\theta \to 0$ 時，$\cos\theta \to 1$，而 $\tan\theta \to 0$，故 $\cos\theta < \tan\theta$ 並非恆成立。 $(4)$ 錯：若取 $\theta = \frac{\pi}{6}$（在 $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ 區間內），則 $\sin 2\theta = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$，$\cos 2\theta = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} = 0.5$。此時 $\sin 2\theta > \cos 2\theta$，故不成立。 $(5)$ 對：因為 $0<\theta<\frac{\pi}{4}$，所以 $0<\cos\theta<1$，從而 $$ 1+\cos\theta>2\cos\theta>0. $$ 又由半角公式， $$ \tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}, \; \frac{\tan\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{2\cos\theta}. $$ 因為分子皆為正，且分母 $1+\cos\theta$ 大於 $2\cos\theta$，所以 $$ \tan\frac{\theta}{2}<\frac{\tan\theta}{2}. $$ 故選 $(1)(5)$。