已知 $0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}$，我們逐一檢驗各選項： - (1) 對：當 $0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}$ 時，$\sin\theta < \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 且 $\cos\theta > \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，故 $\sin\theta < \cos\theta$ 恆成立。 - (2) 錯：$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$。在 $0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}$ 時，$0 < \cos\theta < 1$，分母小於 $1$，故 $\tan\theta > \sin\theta$。 - (3) 錯：當 $\theta \to 0$ 時，$\cos\theta \to 1$，而 $\tan\theta \to 0$，故 $\cos\theta < \tan\theta$ 並非恆成立。 - (4) 錯：若取 $\theta = \dfrac{\pi}{6}$（在 $0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}$ 區間內），則 $\sin 2\theta = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$，$\cos 2\theta = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} = 0.5$。此時 $\sin 2\theta > \cos 2\theta$，故不成立。 - (5) 對：考慮正切函數 $f(x) = \tan x$ 在 $0 < x < \dfrac{\pi}{4}$ 為凹向上函數（因 $f''(x) = 2\tan x \sec^2 x > 0$），依凹性性質可知： $$\tan\dfrac{\theta}{2} < \dfrac{\tan\theta + \tan 0}{2} = \dfrac{\tan\theta}{2}$$ 或者利用半角公式代數驗證： $$\tan\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta} \text{ 且 } \dfrac{\tan\theta}{2} = \dfrac{\sin\theta}{2\cos\theta}$$ 比較分母大小：在 $0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}$ 下，$\cos\theta < 1 \implies 1 + \cos\theta > 2\cos\theta$。分母大者其值較小，因此 $\tan\dfrac{\theta}{2} < \dfrac{\tan\theta}{2}$ 恆成立。 故選 $(1)(5)$。