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106學測數學選填第15題詳解

📅 106 年 📝 學測數學 第 15 題 題型：選填 課綱：99課綱

答案與本題考點

答案：(\dfrac{40}{21}, \dfrac{25}{21})

本題考點：分點公式、平面向量、設未知數

題目

在坐標平面上，$\triangle ABC$ 內有一點 $P$ 滿足 $\overset{\large\rightharpoonup}{AP} = (\dfrac{4}{3}, \dfrac{5}{6})$ 且 $\overset{\large\rightharpoonup}{AP} = \dfrac{1}{2}\overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \dfrac{1}{5}\overset{\large\rightharpoonup}{AC}$。若 $AP$ 連線交 $BC$ 於 $M$，則 $\overset{\large\rightharpoonup}{AM} = ( \text{____}, \text{____} )$。
分點公式平面向量
解題手法設未知數〔AI 推測〕

答案

答案

(\dfrac{40}{21}, \dfrac{25}{21})

選填題；四格依序為 40, 21, 25, 21

詳解

詳解
因為 $A,P,M$ 三點共線，所以可設 $\overset{\large\rightharpoonup}{AM} = k\overset{\large\rightharpoonup}{AP}$。 代入已知線性組合： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AM} = k\Bigl(\frac{1}{2}\overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \frac{1}{5}\overset{\large\rightharpoonup}{AC}\Bigr) = \frac{k}{2}\overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \frac{k}{5}\overset{\large\rightharpoonup}{AC}.$$ 又因為點 $M$ 落在直線 $BC$ 上，根據平面向量分點公式，$\overset{\large\rightharpoonup}{AB}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC}$ 的係數和必為 $1$： $$\frac{k}{2} + \frac{k}{5} = 1 \implies \frac{7k}{10} = 1 \implies k = \frac{10}{7}.$$ 由此可得： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AM} = \frac{10}{7}\overset{\large\rightharpoonup}{AP} = \frac{10}{7}\Bigl(\frac{1}{2}\overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \frac{1}{5}\overset{\large\rightharpoonup}{AC}\Bigr) = \frac{5}{7}\overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \frac{2}{7}\overset{\large\rightharpoonup}{AC}.$$ 設 $A$ 為原點 $O$，則 $B(2,6)$、$C(5,-3)$， $$M = \frac{5}{7}(2,6) + \frac{2}{7}(5,-3) = \Bigl(\frac{10+10}{7},\,\frac{30-6}{7}\Bigr) = \Bigl(\frac{40}{21},\,\frac{25}{21}\Bigr).$$

題目來源：民國106年學測數學 第15題（來源PDF第5頁）

資料版本：2026-07-21（commit bde62541）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈106學測數學選填第15題詳解〉，資料版本 2026-07-21，https://twmath.com/questions/106_02M_q15

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。