108學測數學選填第15題詳解

橢圓方程式為 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{4^2}=1$，其四個頂點分別為 $(a, 0), (-a, 0), (0, 4), (0, -4)$。 這四個頂點組成的四邊形 $ABCD$ 是一個對角線互相垂直的菱形，其兩對角線長度分別為 $2a$ 與 $8$。 對角線垂直的四邊形面積公式為兩對角線乘積之半： $$\text{面積} = \frac{1}{2} \times 2a \times 8 = 8a$$ 已知面積為 $58$，故： $$8a = 58 \Rightarrow a = \frac{58}{8} = \frac{29}{4}$$ 答：\frac{29}{4}。