88大學聯考數學（自然組）非選第13題詳解

1. 因為由圖可知，頂點 $A$ 的坐標為 $(-a, 0)$，頂點 $B$ 的坐標為 $(0, -b)$。 設點 $P(x, y)$ 為第一象限橢圓弧上的動點，滿足 $x > 0$, $y > 0$ 且 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。 我們考慮向量： $\overset{\large\rightharpoonup}{AP} = (x + a, y)$ $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (a, -b)$ 則 $\Delta ABP$ 的面積 $S$ 為： $S = \frac{1}{2} \left| (x+a)(-b) - y(a) \right| = \frac{1}{2} \left| -(bx + ay + ab) \right|$ 因為 $a, b, x, y$ 均為正數，故 $bx + ay + ab > 0$，面積可簡化為： $S = \frac{1}{2} (bx + ay + ab)$ ——— (1) 2. 因為欲求 $S$ 的最大值，所以等同於求 $bx + ay$ 的最大值。 根據柯西不等式： $\left[ \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 \right] \left[ (ab)^2 + (ab)^2 \right] \ge (bx + ay)^2$ 將橢圓方程式 $\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1$ 代入： $1 \times 2(ab)^2 \ge (bx + ay)^2 \implies bx + ay \le \sqrt{2}ab$ 將其代回 (1) 式，可得 $\Delta ABP$ 面積的最大值為： $S_{\max} = \frac{(1 + \sqrt{2})ab}{2}$。 另以參數式驗算。設 $P=(a\cos\theta,b\sin\theta)$，其中 $0<\theta<\frac{\pi}{2}$。 由同一面積式可得 $S=\frac{1}{2}(ab+ab\cos\theta+ab\sin\theta)=\frac{ab}{2}(1+\cos\theta+\sin\theta)$。 因 $\cos\theta+\sin\theta\le \sqrt{2}$，故最大面積為 $\frac{(1+\sqrt{2})ab}{2}$。