詳解
設兩焦點為 $A(6,0)$ 與 $B(0,8)$。
兩焦點之距離為 $2c = \overline{AB} = \sqrt{(6-0)^2 + (0-8)^2} = 10$，解得 $c = 5$。
已知長軸長 $2a = 20$，解得 $a = 10$。
由橢圓不變量關係 $a^2 = b^2 + c^2$，得：
$$b^2 = a^2 - c^2 = 10^2 - 5^2 = 75 \implies b = 5\sqrt{3}.$$
下面逐一檢驗各選項：
$(1)$ 正確：橢圓中心 $C$ 為兩焦點 $A$、$B$ 的中點：
$$C = \left( \dfrac{6+0}{2}, \ \dfrac{0+8}{2} \right) = (3,4).$$
$(2)$ 正確：長軸所在的直線（即焦點連線 $\overline{AB}$）之斜率為：
$$m_{AB} = \dfrac{8-0}{0-6} = -\dfrac{4}{3}.$$
因為短軸與長軸垂直，其斜率乘積為 $-1$，故短軸之斜率為 $\frac{3}{4}$。
$(3)$ 正確：設 $D$ 為長軸上的一頂點。自中心 $C$ 朝焦點 $A$ 延伸的向量為：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{CA} = A - C = (6-3, \ 0-4) = (3,-4).$$
因為中心到頂點的距離為 $a=10$，中心到焦點的距離為 $c=5$，故頂點向量與焦點向量之關係為：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{CD} = \dfrac{a}{c} \overset{\large\rightharpoonup}{CA} = 2\overset{\large\rightharpoonup}{CA} = (6,-8).$$
所以因此，長軸上的一個頂點 $D$ 坐標為：
$$D = C + \overset{\large\rightharpoonup}{CD} = (3,4) + (6,-8) = (9,-4).$$
$(4)$ 正確：由圖形觀察，橢圓橫跨第一象限，且其左下側與正 $x$ 軸僅有一個交點。
$(5)$ 正確：短軸長為 $2b = 2 \times 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$。
正確的敘述為 $(1)(2)(3)(4)(5)$。
橢圓與兩焦點及中心位置圖