85大學聯考數學（自然組）非選第20題詳解

1. 拋物線 $y = ax^2 + bx + c$ 通過點 $(2,6)$，代入得： $$6 = 4a + 2b + c \tag{式1}$$ 2. 因為拋物線與直線 $7x - y - 8 = 0$ 相切於點 $(2,6)$，表示拋物線在 $x = 2$ 處的導數（切線斜率）為 $7$： 由 $y' = 2ax + b$，代入 $x = 2$ 得： $$4a + b = 7 \Rightarrow b = 7 - 4a \tag{式2}$$ 將（式2）代回（式1） 可以消去 $b$： $$6 = 4a + 2(7 - 4a) + c = 14 - 4a + c \Rightarrow c = 4a - 8 \tag{式3}$$ 3. 拋物線與直線 $x - y + 1 = 0$ 相切，聯立兩方程式： $$\begin{cases} y = ax^2 + bx + c \\ y = x + 1 \end{cases} \Rightarrow ax^2 + (b-1)x + c - 1 = 0$$ 因為相切，此二次方程式恰有一重根，即判別式 $\Delta = 0$： $$\Delta = (b-1)^2 - 4a(c-1) = 0 \tag{式4}$$ 將（式2）與（式3） 代入（式4）： $$(7 - 4a - 1)^2 - 4a(4a - 8 - 1) = 0 \Rightarrow (6 - 4a)^2 - 4a(4a - 9) = 0$$ $$36 - 48a + 16a^2 - 16a^2 + 36a = 0 \Rightarrow 36 - 12a = 0 \Rightarrow a = 3.$$ 代回（式2）與（式3）： $$b = 7 - 4(3) = -5$$ $$c = 4(3) - 8 = 4.$$ 故所求為 $a = 3, b = -5, c = 4$。