83大學聯考數學（自然組）選填第12題詳解

設斜率為 $2$ 的切線方程式為 $y = 2x+c_1$。代入拋物線 $y^2 = 4x$： $$y^2 = 2(y-c_1) \implies y^2-2y+2c_1 = 0$$ 因為切線與拋物線相切，所以判別式 $\Delta = 0$： $$\Delta = (-2)^2-4(2c_1) = 0 \implies 4-8c_1 = 0 \implies c_1 = \frac{1}{2}.$$ 故斜率為 $2$ 的切線方程式為： $$y = 2x+\frac{1}{2} \implies 4x-2y+1=0.$$ 設斜率為 $-3$ 的切線方程式為 $y = -3x+c_2$。代入拋物線 $y^2 = 4x$ 得 $x = \frac{c_2-y}{3}$，代入： $$y^2 = 4\left(\frac{c_2-y}{3}\right) \implies 3y^2+4y-4c_2 = 0$$ 同理，相切條件為判別式 $\Delta = 0$： $$\Delta = 4^2-4(3)(-4c_2) = 0 \implies 16+48c_2 = 0 \implies c_2 = -\frac{1}{3}.$$ 故斜率為 $-3$ 的切線方程式為： $$y = -3x-\frac{1}{3} \implies 3x+y+\frac{1}{3}=0.$$ 點 $P$ 為此兩切線的交點，聯立方程式： $$\begin{cases} 4x-2y+1=0 \\ 3x+y+\frac{1}{3}=0 \end{cases}$$ 解得 $x = -\frac{1}{6}$，$y = \frac{1}{6}$。 故 $P$ 點的坐標為 $(-\frac{1}{6}, \frac{1}{6})$。