97指考數學甲多選第8題詳解

拋物線 $\Gamma$ 對稱軸 $x=2$，設頂點為 $(2,k)$，標準式為 $(x-2)^2=4c(y-k)$。因為通過點 $(8,4)$，所以： $$(8-2)^2=4c(4-k)\;\implies\;36=4c(4-k)\;\implies\;c(4-k)=9$$ 選項 $(1)$：若 $k=1$，則 $c(4-1)=9$，$c=3$。焦點為 $(2,k+c)=(2,4)$。正確。 選項 $(2)$：若焦點為 $(2,12)$，則 $k+c=12$，聯立 $c(4-k)=9$。$c=12-k$，$(12-k)(4-k)=k^2-16k+48=9$，$k^2-16k+39=0$，$(k-3)(k-13)=0$。$k=3$ 或 $k=13$，頂點不唯一。$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：若 $c=1$，則 $1\cdot(4-k)=9$，$k=-5$，頂點為 $(2,-5)$。正確。 選項 $(4)$：準線為 $y=k-c$。若準線為 $y=-1$，則 $k-\frac{9}{4-k}=-1$，$(k+1)(4-k)=9$，化簡得 $k^2-3k+5=0$，判別式 $-11<0$，無實數解。$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：若 $c<0$，則 $4-k<0$，$k>4$。例如取 $k=7$，$c=\frac{9}{4-7}=-3$，焦點 $(2,4)$，確實對應到 $y=4$。正確。 故選 $(1)(3)(5)$。