94指考數學甲多選第9題詳解

因為題目只規定相切條件與所在半平面，所以先檢查對稱軸為 $y$ 軸的情形。 拋物線位於 $y \ge 0$ 半平面，且與 $x$-軸（即 $y=0$）相切，並與 $y = x-1$ 和 $y = -x-1$ 兩直線相切。 $(2)$ 對：若此拋物線對稱軸為 $y$-軸，設拋物線頂點在原點 $(0,0)$，其方程式為 $y = kx^2$ ($k > 0$)。 此拋物線與 $y = x-1$ 相切 $\implies kx^2 - x + 1 = 0$ 有重根。 其判別式 $D = (-1)^2 - 4k(1) = 1 - 4k = 0 \implies k = \frac{1}{4}$。 依拋物線標準式，焦距 $c = \frac{1}{4k} = 1$。同理，它也會與 $y = -x-1$ 相切於 $(-2, 1)$。故選項 $(2)$ 成立。 $(4)$ 對，$(1)$ 與 $(3)$ 錯：題目並未限制拋物線的軸必須垂直或平行於坐標軸。在平面幾何中，我們可以將拋物線的對稱軸傾斜（即非垂直於 $x$ 軸）。藉由適當旋轉與平移，存在傾斜的拋物線也同樣與 $x$-軸及這兩條直線相切，且仍位於 $y \ge 0$ 的區域。因此，滿足此條件的拋物線有無限多條，頂點不一定在 $x$-軸上，對稱軸亦不一定為 $y$-軸。 故選 $(2)(4)$。