107學測數學多選第12題詳解

首先求拋物線 $y^2 = 2x$ 的焦點。因為標準式為 $y^2 = 4px$，比較得 $4p = 2$，所以 $p = \frac{1}{2}$，焦點為 $(\frac{1}{2}, 0)$。 選項 $(1)$：$y = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$ 可改寫為 $(x - \frac{1}{2})^2 = y + \frac{1}{4}$，為開口向上之拋物線。因為 $4p = 1 \implies p = \frac{1}{4}$，頂點為 $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$，所以焦點為 $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = (\frac{1}{2}, 0)$。（正確） 選項 $(2)$：$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ 為橢圓，$a^2 = 4$，$b^2 = 3$。因為 $c^2 = a^2 - b^2 = 1$，所以 $c = 1$，焦點為 $(\pm 1, 0)$，不含 $(\frac{1}{2}, 0)$。 選項 $(3)$：$x^2 + \frac{4y^2}{3} = 1$ 可改寫為 $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{3/4} = 1$，為橢圓，$a^2 = 1$，$b^2 = \frac{3}{4}$。因為 $c^2 = a^2 - b^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$，所以 $c = \frac{1}{2}$，焦點為 $(\pm \frac{1}{2}, 0)$。含 $(\frac{1}{2}, 0)$。（正確） 選項 $(4)$：$8x^2 - 8y^2 = 1$ 可改寫為 $\frac{x^2}{1/8} - \frac{y^2}{1/8} = 1$，為等軸雙曲線，$a^2 = \frac{1}{8}$，$b^2 = \frac{1}{8}$。因為 $c^2 = a^2 + b^2 = \frac{1}{4}$，所以 $c = \frac{1}{2}$，焦點為 $(\pm \frac{1}{2}, 0)$。含 $(\frac{1}{2}, 0)$。（正確） 選項 $(5)$：$4x^2 - 4y^2 = 1$ 可改寫為 $\frac{x^2}{1/4} - \frac{y^2}{1/4} = 1$，為等軸雙曲線，$a^2 = \frac{1}{4}$，$b^2 = \frac{1}{4}$。因為 $c^2 = a^2 + b^2 = \frac{1}{2}$，所以 $c = \frac{1}{\sqrt{2}}$，焦點不含 $(\frac{1}{2}, 0)$。 故選 $(1)(3)(4)$。