96學測數學選填第19題詳解

拋物線的焦距為 $6-3=3$，所以方程式為 $$ a^2=12(b-3). $$ 在點 $P(a,b)$，$\overline{PQ}$ 是鉛直向下的線段。因為 $\angle FPQ=60^\circ$，且夾角的餘弦為正，所以 $b>6$；由直角三角形的斜率關係， $$ \frac{|a|}{b-6}=\tan60^\circ=\sqrt3 \implies a^2=3(b-6)^2. $$ 和拋物線條件聯立： $$ 12(b-3)=3(b-6)^2 \implies b^2-16b+48=0 \implies (b-4)(b-12)=0. $$ 因為 $b>6$，所以 $b=12$。 故填 $12$。 另解 頂點 $V(0, 3)$ 到焦點 $F(0, 6)$ 的距離為 $c = 6 - 3 = 3$。 因為軸在 $y$ 軸上且開口向上，拋物線方程式為： $$x^2 = 4c(y - 3) \implies x^2 = 12(y - 3)$$ 已知 $P(a, b)$ 在拋物線上，故滿足： $$a^2 = 12(b - 3)$$ 其在 $x$ 軸上的投影為 $Q(a, 0)$，焦點為 $F(0, 6)$。 考慮向量： $$\overset{\large\rightharpoonup}{PQ} = (a, 0) - (a, b) = (0, -b)$$ $$\overset{\large\rightharpoonup}{PF} = (0, 6) - (a, b) = (-a, 6 - b)$$ 設 $\angle FPQ = 60^\circ$，利用向量夾角公式： $$\cos 60^\circ = \frac{\overset{\large\rightharpoonup}{PQ} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{PF}}{\left|\overset{\large\rightharpoonup}{PQ}\right| \left|\overset{\large\rightharpoonup}{PF}\right|} = \frac{0 \times (-a) + (-b)(6 - b)}{b \times \sqrt{(-a)^2 + (6-b)^2}} = \frac{b(b - 6)}{b \times \sqrt{a^2 + (6-b)^2}} = \frac{b - 6}{\sqrt{a^2 + (b-6)^2}}$$ 由於 $\cos 60^\circ = \frac{1}{2} > 0$，故必有 $b > 6$。 兩邊平方： $$\frac{1}{4} = \frac{(b - 6)^2}{a^2 + (b-6)^2} \implies a^2 + (b-6)^2 = 4(b-6)^2 \implies a^2 = 3(b-6)^2$$ 將 $a^2 = 12(b - 3)$ 代入： $$12(b - 3) = 3(b-6)^2 \implies 4(b - 3) = b^2 - 12b + 36 \implies b^2 - 16b + 48 = 0$$ 解得 $(b - 12)(b - 4) = 0$。 因限制 $b > 6$，故得 $b = 12$。