109學測數學選填第19題詳解

1. 設拋物線 $\Gamma$ 的方程式為 $y^2=4px$（頂點在原點，對稱軸為 $x$ 軸），其中 $p>0$ 為焦距。等腰梯形的對稱軸與 $\Gamma$ 的對稱軸重合（皆為 $x$ 軸）。 2. 等腰梯形的上底與下底為垂直於 $x$ 軸的弦（平行於 $y$ 軸）。上底長 $4$ 表示上底所在處的半弦長為 $2$；下底長 $6$ 表示半弦長為 $3$。兩弦之間的 $x$ 方向距離即為梯形的高 $14$。 3. 設上底所在的 $x$ 坐標為 $x_1$，則該處 $y^2=4px_1$，因為半弦長為 $2$，所以 $2^2=4px_1$，即 $4=4px_1$。 設下底所在的 $x$ 坐標為 $x_2=x_1+14$（設上底在左、下底在右），則 $3^2=4p(x_1+14)$，即 $9=4px_1+56p$。 4. 將 $4=4px_1$ 代入 $9=4px_1+56p$：$9=4+56p\implies 56p=5\implies p=\frac{5}{56}$。 故填 $\frac{5}{56}$。