85大學聯考數學（自然組）非選第19題詳解

我們使用數學歸納法來證明此定理： 1. 當 $n = 1$ 時： 左式 $= [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^1 = r(\cos\theta + i\sin\theta)$。 右式 $= r^1(\cos(1\cdot\theta) + i\sin(1\cdot\theta)) = r(\cos\theta + i\sin\theta)$。 左式 $=$ 右式，定理在 $n = 1$ 時成立。 2. 假設當 $n = k$ (其中 $k$ 為正整數) 時，定理成立。即： $$[r(\cos\theta + i\sin\theta)]^k = r^k(\cos k\theta + i\sin k\theta).$$ 3. 當 $n = k + 1$ 時： 左式 $= [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^{k+1} = [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^k \cdot [r(\cos\theta + i\sin\theta)]$ $$= \left[ r^k(\cos k\theta + i\sin k\theta) \right] \cdot \left[ r(\cos\theta + i\sin\theta) \right] \ (\text{依據歸納假設})$$ $$= r^{k+1} \left[ (\cos k\theta \cos\theta - \sin k\theta \sin\theta) + i(\sin k\theta \cos\theta + \cos k\theta \sin\theta) \right]$$ $$= r^{k+1} \left[ \cos(k\theta + \theta) + i\sin(k\theta + \theta) \right] \ (\text{利用複數乘法與和角公式})$$ $$= r^{k+1} \left[ \cos(k+1)\theta + i\sin(k+1)\theta \right] = \text{右式}.$$ 這說明定理在 $n = k+1$ 時亦成立。 根據數學歸納法，對所有正整數 $n$，$[r(\cos \theta + i\sin \theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$ 恆成立。