85大學聯考數學（自然組）選填第18題詳解

設 $f(x) = ax^2 + bx + c$, 其導函數為 $f'(x) = 2ax + b$。 1. 根據第一條件 $5f'(1) = 2f(2)$： $$5(2a + b) = 2(4a + 2b + c) \Rightarrow 10a + 5b = 8a + 4b + 2c \Rightarrow 2a + b - 2c = 0 \tag{式1}$$ 2. 根據第二條件 $\int_0^1 f(x) dx = 0$： $$\int_0^1 (ax^2 + bx + c) dx = \left[ \dfrac{a}{3}x^3 + \dfrac{b}{2}x^2 + cx \right]_0^1 = \dfrac{a}{3} + \dfrac{b}{2} + c = 0$$ 同乘以 $6$ 得： $$2a + 3b + 6c = 0 \tag{式2}$$ 3. 聯立（式1）與（式2）： 由（式2）減去（式1） 可得 $2b + 8c = 0 \Rightarrow b = -4c$。 將 $b = -4c$ 代回（式1） 得 $2a - 4c - 2c = 0 \Rightarrow a = 3c$。 因此，$a : b : c = 3c : (-4c) : c = 3 : -4 : 1$。 令 $f(x) = k(3x^2 - 4x + 1)$, 其中 $k \neq 0$。解方程式 $f(x) = 0$： $$3x^2 - 4x + 1 = 0 \Rightarrow (3x - 1)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{3} \ \text{或} \ 1.$$ 由於兩根大小關係為 $\alpha < \beta$, 故有 $\alpha = \dfrac{1}{3}$, $\beta = 1$。 所以數對 $(\alpha, \beta) = (\dfrac{1}{3}, 1)$。