101指考數學甲非選第12題詳解

(1) 因為 $f(x)$ 為多項式函數，且 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{f(n)}{n^4} = 5$（極限值為非零常數），所以 $f(x)$ 的最高次數必須與分母 $n^4$ 的次數相同，即次數為 $4$。最高次項係數即為此極限值 $5$。 (2) 因為 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3$，而分母在 $x \to 0$ 時極限為 $0$，故分子也必須滿足 $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0$。因為 $f(x)$ 為多項式，故 $f(0) = 0$。 由此極限可知 $f'(0) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = 3$。 多項式在 $x = 0$ 處的切線方程式為： $$y - f(0) = f'(0)(x - 0) \implies y - 0 = 3(x - 0) \implies y = 3x$$ (3) 設 $f(x) = 5x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$。 由第(2)小題知 $f(0) = e = 0$， $f'(0) = d = 3$。 微分兩次得： $$f'(x) = 20x^3 + 3bx^2 + 2cx + 3$$ $$f''(x) = 60x^2 + 6bx + 2c$$ 代入 $f''(0) = 2c = 2 \implies c = 1$。 因此，$f(x) = 5x^4 + bx^3 + x^2 + 3x$。 計算定積分： $$\int_{-1}^1 f(x) dx = \int_{-1}^1 (5x^4 + bx^3 + x^2 + 3x) dx$$ 由於奇數次項 $bx^3$ 與 $3x$ 在對稱區間 $[-1, 1]$ 上的定積分為 $0$，故： $$\int_{-1}^1 f(x) dx = \int_{-1}^1 (5x^4 + x^2) dx = 2 \int_0^1 (5x^4 + x^2) dx$$ $$= 2 \left[ x^5 + \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 = 2 \left( 1 + \frac{1}{3} \right) = 2 \times \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$