101指考數學甲非選第13題詳解

$(1)$ 因為 $\overline{AD}$ 平分 $\angle BAC$，由內角平分線定理： $$\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{BD}}{\overline{DC}} = \frac{5}{7}.$$ 令 $\overline{AB} = 5t$，$\overline{AC} = 7t$（$t > 0$）。$\overline{BC} = 5 + 7 = 12$。 對 $\triangle ABC$ 使用餘弦定理（已知 $\angle B = 60^\circ$）： \begin{align*} \overline{AC}^2 &= \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 - 2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \cos 60^\circ, \\ (7t)^2 &= (5t)^2 + 12^2 - 2 \cdot 5t \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}, \\ 49t^2 &= 25t^2 + 144 - 60t, \\ 24t^2 + 60t - 144 &= 0, \\ 2t^2 + 5t - 12 &= 0. \end{align*} 解得 $t = \frac{-5 + \sqrt{25 + 96}}{4} = \frac{-5 + 11}{4} = \frac{3}{2}$（捨去負根）。 所以 $\overline{AB} = 5t = \frac{15}{2}$，$\overline{AC} = 7t = \frac{21}{2}$。 由正弦定理求 $\sin\angle ACB$： $$\frac{\overline{AB}}{\sin\angle ACB} = \frac{\overline{AC}}{\sin 60^\circ} \implies \frac{\frac{15}{2}}{\sin C} = \frac{\frac{21}{2}}{\sqrt{3}/2} \implies \sin C = \frac{15}{21} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{14}.$$ 故 $\sin\angle ACB = \frac{5\sqrt{3}}{14}$。 $(2)$ $\angle BAC = 180^\circ - 60^\circ - \angle ACB$。由正弦定理： $$\frac{\overline{BC}}{\sin\angle BAC} = \frac{\overline{AC}}{\sin 60^\circ} \implies \frac{12}{\sin A} = \frac{\frac{21}{2}}{\sqrt{3}/2} = \frac{21}{\sqrt{3}}.$$ 所以 $\sin\angle BAC = \frac{12\sqrt{3}}{21} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$。 故 $\sin\angle BAC = \frac{4\sqrt{3}}{7}$。 $(3)$ 前面已求得 $\overline{AB} = \frac{15}{2}$。 故 $\overline{AB} = \frac{15}{2}$。