102學測數學選填第19題詳解

設 $\triangle ABC$ 的外接圓圓心為 $O$，外接圓半徑 $R = 8$。 因為 $\triangle ABC$ 為銳角三角形，所以圓心 $O$ 落在三角形內部。 1. 設圓心 $O$ 到弦 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 的弦心距分別為 $d_1 = 2$，$d_2 = 7$。 由直角三角形之幾何關係，可求得半弦長： $$\frac{\overline{AB}}{2} = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \implies \overline{AB} = 4\sqrt{15},$$ $$\frac{\overline{BC}}{2} = \sqrt{8^2 - 7^2} = \sqrt{15} \implies \overline{BC} = 2\sqrt{15}.$$ 2. 設圓心角 $\angle AOB = 2\theta_1$，$\angle BOC = 2\theta_2$。可得： $$\cos\theta_1 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4},\; \sin\theta_1 = \frac{2\sqrt{15}}{8} = \frac{\sqrt{15}}{4},$$ $$\cos\theta_2 = \frac{7}{8},\; \sin\theta_2 = \frac{\sqrt{15}}{8}.$$ 因為圓心 $O$ 在三角形內部，所以 $\angle AOC = 360^\circ - (2\theta_1 + 2\theta_2)$。 因此： $$\frac{\overline{AC}}{2} = R \sin\!\left(\frac{\angle AOC}{2}\right) = 8 \sin(180^\circ - (\theta_1 + \theta_2)) = 8 \sin(\theta_1 + \theta_2).$$ 3. 利用正弦和角公式： $$\begin{aligned} \sin(\theta_1 + \theta_2) &= \sin\theta_1\cos\theta_2 + \cos\theta_1\sin\theta_2 \\[4pt] &= \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{7}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{7\sqrt{15} + \sqrt{15}}{32} = \frac{8\sqrt{15}}{32} = \frac{\sqrt{15}}{4}. \end{aligned}$$ 代回可得： $$\frac{\overline{AC}}{2} = 8 \times \frac{\sqrt{15}}{4} = 2\sqrt{15} \implies \overline{AC} = 4\sqrt{15}.$$