102學測數學選填第18題詳解

已知 $|\overset{\large\rightharpoonup}{A}| = 1$，$|\overset{\large\rightharpoonup}{B}| = 2$，夾角為 $60^\circ$。 計算內積： $$\overset{\large\rightharpoonup}{A} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{B} = |\overset{\large\rightharpoonup}{A}|\,|\overset{\large\rightharpoonup}{B}| \cos 60^\circ = 1 \times 2 \times \frac{1}{2} = 1.$$ 將 $\overset{\large\rightharpoonup}{u} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 展開： $$\begin{aligned} \overset{\large\rightharpoonup}{u} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v} &= (\overset{\large\rightharpoonup}{A} + \overset{\large\rightharpoonup}{B}) \cdot (x\overset{\large\rightharpoonup}{A} + y\overset{\large\rightharpoonup}{B}) \\[4pt] &= x|\overset{\large\rightharpoonup}{A}|^2 + y|\overset{\large\rightharpoonup}{B}|^2 + (x + y)(\overset{\large\rightharpoonup}{A} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{B}) \\[4pt] &= x(1)^2 + y(2)^2 + (x + y)(1) \\[4pt] &= 2x + 5y. \end{aligned}$$ 可行區間由以下不等式決定： $$\begin{cases} 6 \le x + y \le 8, \\ -2 \le x - y \le 0 \implies 0 \le y - x \le 2. \end{cases}$$ 這在平面上代表一個平行四邊形，其四個頂點為： - $x + y = 6$ 且 $y - x = 0 \implies (3, 3)$ - $x + y = 6$ 且 $y - x = 2 \implies (2, 4)$ - $x + y = 8$ 且 $y - x = 2 \implies (3, 5)$ - $x + y = 8$ 且 $y - x = 0 \implies (4, 4)$ 將頂點代入目標函數 $2x + 5y$： - $(3,3)$：$2(3) + 5(3) = 21$ - $(2,4)$：$2(2) + 5(4) = 24$ - $(3,5)$：$2(3) + 5(5) = 31$ - $(4,4)$：$2(4) + 5(4) = 28$ 因為 $31 > 28 > 24 > 21$，所以內積的最大值為 $31$，此時 $(x,y) = (3, 5)$。