102學測數學選填第17題詳解

圓所截的兩條直線 $L_1: x-y-1=0$ 與 $L_2: x-y-5=0$ 為互相平行的直線。 1. 兩平行線之間的距離 $d$ 為： $$d = \frac{|-1 - (-5)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}.$$ 2. 因為圓在這兩直線所截得的弦長相等，所以圓心到這兩直線的距離（弦心距）相等， 此距離必定是兩平行線距離的一半： $$d_c = \frac{d}{2} = \sqrt{2}.$$ 3. 已知弦長為 $14$，故半弦長為 $7$。 設圓半徑為 $R$，根據畢氏定理： $$R^2 = (\text{半弦長})^2 + (\text{弦心距})^2 = 7^2 + (\sqrt{2})^2 = 49 + 2 = 51.$$ 4. 因此，此圓的面積為： $$\text{面積} = \pi R^2 = 51\pi.$$