110指考數學甲選填第10題詳解

1. 設圓心為 $O$，半徑 $r=12$。 2. 因為圓與直線 $x+y=0$ 相交的弦長為 $8$，所以圓心到直線 $x+y=0$ 的距離 $d_1$ 滿足： $$d_1=\sqrt{r^2-\left(\dfrac{8}{2}\right)^2}=\sqrt{144-16}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$$ 3. 兩平行直線 $x+y=0$ 與 $x+y=24$ 的距離為： $$\dfrac{|24-0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{24}{\sqrt{2}}=12\sqrt{2}$$ 4. 因為直線 $x+y=24$ 須與圓相交，所以圓心到 $x+y=24$ 的距離 $d_2=|12\sqrt{2}-d_1|$（由圓心在兩線之間的可能位置計算）。因為 $d_1=8\sqrt{2}$，且兩線距離為 $12\sqrt{2}$，若圓心在 $x+y=0$ 遠離 $x+y=24$ 的一側，則 $d_2=12\sqrt{2}+8\sqrt{2}=20\sqrt{2}>12$，圓與直線不相交，矛盾。所以圓心必在兩線之間，$d_2=12\sqrt{2}-8\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。 5. 因此弦長 $\overline{PQ}=2\sqrt{r^2-d_2^2}=2\sqrt{144-32}=2\sqrt{112}=2\times4\sqrt{7}=8\sqrt{7}$。 故填 $8\sqrt{7}$。