107指考數學甲選填第9題詳解

因為設圓 $C$ 的圓心為 $(2,k)$，半徑為 $R$。因圓通過點 $P(0,-5)$，得 $$(0-2)^2+(-5-k)^2=R^2 \implies 4+(k+5)^2=R^2 \;\text{（式1）}$$ 又圓 $C$ 截 $x$ 軸所成之弦長為 $6$，半弦長為 $3$，圓心到 $x$ 軸的距離為 $|k|$，故 $$R^2=k^2+3^2=k^2+9 \;\text{（式2）}$$ 由 $（式1）$、$（式2）$ 聯立： $$4+(k+5)^2=k^2+9 \implies 10k+29=9 \implies k=-2.$$ 因此 $R^2=(-2)^2+9=13$，所以 $R=\sqrt{13}$。