107指考數學甲選填第10題詳解

因為隨機變數 $X$ 服從二項分布 $B(9, p)$，其機率質量函數為 $p_k = P(X=k) = C^9_k p^k (1-p)^{9-k}$。 令 $q = 1-p$。由題意 $p_4 + p_5 = \frac{45}{8} p_6$： $$C^9_4 p^4 q^5 + C^9_5 p^5 q^4 = \dfrac{45}{8} C^9_6 p^6 q^3$$ 由於 $C^9_4 = C^9_5 = 126$，左式可化簡為： $$126 p^4 q^4 (q + p) = 126 p^4 q^4$$ 所以原式變為： $$126 p^4 q^4 = \dfrac{45}{8} \times 84 \times p^6 q^3$$ 同除以 $42 p^4 q^3$（因 $p, q \neq 0$）： $$3q = \dfrac{45}{8} \times 2 \times p^2 \implies 3(1-p) = \dfrac{45}{4} p^2 \implies 4(1-p) = 15p^2$$ $$15p^2 + 4p - 4 = 0 \implies (3p+2)(5p-2) = 0$$ 因 $0 < p < 1$，故 $p = \frac{2}{5}$。 期望值 $E(X) = np = 9 \times \frac{2}{5} = \frac{18}{5}$。 故填 $\frac{18}{5}$。